17. மின்னல் பெருக்கல் : மூன்று இலக்க எண்கள்! 100க்கு அருகில் உள்ள இரு எண்களை பெருக்குவது எப்படி? (100ஐ விட சற்று பெரிய எண்கள்)

முந்தைய அத்தியாயத்திலிருந்து ஒரே ஒரு சிறிய மாற்றம்தான். 100ஐ விட சற்று பெரிய எண்கள் என்பதால் இறுதியில் கழிப்பதற்குப் பதிலாக கூட்டப் போகிறோம்.

உதாரணம் : 1

108
107 x
---------
11556
---------

• அடிப்படை எண் 100
• 108லிருந்து 100ஐ கழித்தால் 8
• 107லிருந்து 100ஐ கழித்தால் 7
• 8ஐயும் 7ஐயும் பெருக்கினால் விடை 8 x 7 = 56.
  இவை வலப்பக்க இலக்கங்கள்.
• 108டன் 7ஐ கூட்டினால் 108+7 = 115.
  அல்லது 107டன் 8ஐ கூட்டினால் 107+8 = 115.
  இவை இடப்பக்க இலக்கங்கள்.
• இரண்டையும் ஒன்றாக எழுதினால் 11556.

அதாவது கொஞ்சம் விளக்கமாக எழுதினால்,
115 x 100 (அடிப்படை எண்) + 56 = 11500 +56 = 11556.
இது தான் விடை

உதாரணம் : 2

102
109 x
---------
11118
---------

• அடிப்படை எண் 100
• 102லிருந்து 100ஐ கழித்தால் 2
• 109லிருந்து 100ஐ கழித்தால் 9
• 2ஐயும் 9ஐயும் பெருக்கினால் விடை 2 x 9 = 18.
  இவை வலப்பக்க இலக்கங்கள்.
• 102டன் 9ஐ கூட்டினால் 102 + 9 = 111.
  அல்லது 109டன் 2ஐ கூட்டினால் 109+2 = 111.
  இவை இடப்பக்க இலக்கங்கள்.
• இரண்டையும் ஒன்றாக எழுதினால் 11118.

அதாவது இதையே கொஞ்சம் விளக்கமாக எழுதினால்,
111 x 100 (அடிப்படை எண்) + 18 = 11100 – 18 = 11118.
இது தான் விடை

16. மின்னல் பெருக்கல் : மூன்று இலக்க எண்கள்! 100க்கு அருகில் உள்ள இரு எண்களை பெருக்குவது எப்படி? (100ஐ விட சிறிய எண்கள்)

எப்படி என்று ஆற அமர யோசிக்கிற நேரத்தில் மின்னல் கணித முறையில் நம்மால் பெருக்கி விடமுடியும் என்பதால் நேரடியாக உதாரணத்திற்கு வந்துவிடுவோம்

உதாரணம் : 1

91
97 X
---------
8827
---------

• அடிப்படை எண் 100
• 100லிருந்து 91ஐ கழித்தால் 9
• 100லிருந்து 97ஐ கழித்தால் 3
• 9ஐயும் 3ஐயும் பெருக்கினால் விடை 9 x 3 = 27. இவை வலப்பக்க இலக்கங்கள்.
• 91லிருந்து 3ஐ கழித்தால் 91-3=88. அல்லது 97லிருந்து 9ஐ கழித்தால் 97-9=88. இவை இடப்பக்க இலக்கங்கள்.
• இரண்டையும் ஒன்றாக எழுதினால் 8827.

அதாவது கொஞ்சம் விளக்கமாக எழுதினால்,
88 x 100 (அடிப்படை எண்) + 27 = 8800 + 27 = 8827.
இது தான் விடை

உதாரணம் : 2

92
98 X
---------
9016
---------

• அடிப்படை எண் 100
• 100லிருந்து 92ஐ கழித்தால் 8
• 100லிருந்து 98ஐ கழித்தால் 2
• 1ஐயும் 4ஐயும் பெருக்கினால் விடை 8 x 2 = 16.
  இவை வலப்பக்க இலக்கங்கள்.
• 92லிருந்து 2ஐ கழித்தால் 92-2ஸ்ரீ 90. அல்லது 98லிருந்து 8ஐ கழித்தால்
  98-8 = 90.
  இவை இடப்பக்க இலக்கங்கள்.
• இரண்டையும் ஒன்றாக எழுதினால் 9016. இது தான் விடை

உதாரணம் : 3

98
97 X
---------
9506
---------

• அடிப்படை எண் 100
• 98ஐ கழித்தால் 2
• 97ஐ கழித்தால் 3
• 3ஐயும் பெருக்கினால் விடை 2x3= 06.
  இவை வலப்பக்க இலக்கங்கள்.
• 3ஐ கழித்தால் 98-3= 95. அல்லது 97லிருந்து 2ஐ கழித்தால் 97-2= 95.
  இவை இடப்பக்க இலக்கங்கள்.
• ஒன்றாக எழுதினால் 9506.

அதாவது கொஞ்சம் விளக்கமாக எழுதினால்,
95 x 100 (அடிப்படை எண்) + 6 = 9500 + 6 = 9506.
இது தான் விடை


உதாரணம் : 4

99
96 x
---------
9504
---------

• அடிப்படை எண் 100
• 100லிருந்து 99ஐ கழித்தால் 1
• 100லிருந்து 96ஐ கழித்தால் 4
• 1ஐயும் 4ஐயும் பெருக்கினால் விடை 1x4= 04.
  இவை வலப்பக்க இலக்கங்கள்.
• 99லிருந்து 4ஐ கழித்தால் 99-4 95. அல்லது 96லிருந்து 1ஐ கழித்தால் 96-1= 95. இவை இடப்பக்க இலக்கங்கள்.
• இரண்டையும் ஒன்றாக எழுதினால் 9504.

அதாவது கொஞ்சம் விளக்கமாக எழுதினால்,
95 x 100 (அடிப்படை எண்) + 4 = 9500 + 4 = 9504.
இது தான் விடை

15. பெருக்கல் : இரு இலக்கங்கள் - வலது இலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகை பத்துக்கு மேலிருந்தால்

கீழ்வரும் எண்களை கவனியுங்கள்

உதாரணம் : 1

47 X 45

இந்த எண்களின் இடது இலக்கங்கள் சமம்
ஆனால் வலது இலக்கம் சமம் இல்லை.
வலது (7,5) இலக்கங்களைக் கூட்டினால் பத்துக்கு மேல்.

இந்த எண்களுக்கு ஏதாவது மின்னல் டெக்னிக் இருக்கிறதா என்றால் இருக்கிறது.

நீங்கள் 47 X 45
என்பதை (45 + 2) X 45
என்றும் எழுதலாம்.

ஏன் அப்படி எழுதுகிறோம். அப்படி எழுதுவதன் மூலம் நமக்கு இரண்டு 45கள் கிடைத்துவிடுகின்றன. இவற்றை நமது மின்னல் பெருக்கல் உத்தியின் மூலம், நொடிகளில் 2025 என்று விடையைச் சொல்லிவிடலாம். சரி அந்த 2 எங்கே போனது? அந்த 2ஐ என்ன செய்வது? ரொம்ப சிம்பிள் 45 X 2 என்று பெருக்கினால் 90 வரும். அதை 2025 உடன் கூட்டினால் 2025 + 90 = 2115 என விடை வந்துவிடும்.

அதாவது
47 X 45 = (45102) X 45
(45 X 45) + (2 X 45) = 2025 + 90 = 2115

இனி இதை அப்படியே 73 X 79 என்ற பெருக்கலுக்கு பயன்படுத்திப் பார்க்கலாமா?

உதாரணம் : 2

73 X 79 = ?

முதல் வழி
(71 + 2) X 79 = (71 X 79) + (79 X 2) = 5609 + 158 = 5767

இன்னொரு வழி
73 X (77102) = (73 X 77) + (73 X 2) = 5621 + 146 X 5767

இனி கொஞ்சம் விலாவாரியாக ஆய்வோம். 73 X 79 என்பதில் ஏன் 73ஐ 71 10 2 என எழுதினோம்? ஏனென்றால் 73ஐ வசதியாக 71 என மாற்றும்போது 73 X 79 என்பது 71 X 79 ஆக மாறிவிடுகிறது. அதாவது கடைசி இரு இலக்கங்களையும் (1,9) கூட்டினால் 10 என வருகிறது. அப்படி வந்தால் அதற்கான மின்னல் கணித உத்தி நம்மிடம் உள்ளது. அதை வைத்து மிகச் சுலபமாக பெருக்கிவிடலாம்.

புரிவதற்கு வசதியாக மேலும் சில மின்னல் பெருக்கல்களை கொடுத்துள்ளேன். புரிந்து கொண்டு பயன்படுத்துங்கள்.

உதாரணம் : 3

57 X 56 = ?

முதல் வழி
(54 + 3) X 56 = (54 X 56) + (54 X 3) = 3024 + 168 = 3192

இன்னொரு வழி
57 X (53103) = (57 X 53) + (57 X 3) = 3021 + 171 = 3192


உதாரணம் : 4

68 X 66 = ?

முதல் வழி
(64 + 4) X 66 = (64 X 66) + (66 X 4) = 4224 + 264 = 4488

இன்னொரு வழி
68 X (62 + 4) = (68 X 62) + (68 - 4) = 4216 + 272 = 4488

14. பெருக்கல் : வலது இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 10 ஆக இருக்கும் மூன்று இலக்க எண்ணை அதே மூன்று இலக்க எண்ணால் பெருக்குதல் (Square)

கீழ் வரும் எண்களை கவனியுங்கள்
118 X 112
246 X 244
322 X 328
434 X 436
567 X 563
651 X 659
782 X 788
891 X 899
938 X 932

இந்த எண்களில் இரு ஒற்றுமைகள் உள்ளன. அவை என்னவென்றால்,

• வலது கடைசி இலக்கங்களை கூட்டினால் 10 வரும். உதாரணமாக 567 X 563 இந்த எண்களின் கடைசி இலக்கங்கள் 7 மற்றும் 3. இவை இரண்டையும் கூட்டினால் 10. அதே போல 938 X 932 இந்த எண்களின் வலது கடைசி இலக்கங்கள் 8 மற்றும் 2. இவை இரண்டையும் கூட்டினால் 10.
• இரு எண்களிலும் இடது இரு இலக்கங்கள் ஒரே எண்ணாகத்தான் இருக்கும். உதாரணமாக 567 X 563. இந்த இரு எண்களிலும் இடது இரு இலக்கங்கள் 56தான். அதே போல 938 X 932. இந்த இரு எண்களிலும் இடது இலக்கங்கள் 93தான்.
• மேலிருக்கும் இரண்டு காரணிகளும் இருந்தால் இந்த மின்னல் கணித உத்தி அட்டகாசமாக வேலை செய்யும்.

ஆரம்பிக்கும் முன்னால் மீண்டும் ஒரு சின்ன ஃபிளாஷ்பேக். ஏற்கனவே நாம் இதே காரணிகளைக் கொண்ட இரு இலக்க எண்களை ஸ்கொயர் செய்வது எப்படி என்று பார்த்திருக்கிறோம். எனவே அதை ஒரு முறை ஞாபகப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள். இனி உதாரணத்திற்கு வருவோம்.

உதாரணம் : 1

198
192 X
---------

இந்த இரு எண்களையும் 19, 8, 2 என மூன்று தனித் தனி எண்களாக பிரித்துக்கொள்வோம்.

• முதலில் 8 X 2 = 16 இதுவே விடையின் வலது பாகம்.
• அடுத்ததாக 19 + 1 = 20
• இனி 19 X 20 = 380. இதுவே விடையின் இடது பாகம்.
• ஆக 38016 என்பதுதான் விடை


உதாரணம் : 2

567
563 X
---------

இந்த இரு எண்களையும் 56, 7, 3 என மூன்று தனித் தனி எண்களாக பிரித்துக்கொள்வோம்.

• முதலில் 7 X 3 = 21 இதுவே விடையின் வலது பாகம்.
• அடுத்ததாக 56 + 1 = 57
• இனி 56 X 57 = 3192. இதுவே விடையின் இடது பாகம்.
• ஆக 319221 என்பதுதான் விடை


குறிப்பு :

இரு எண்களின் வலது இலக்கங்களை கூட்டினால் 10 கட்டாயம் வரவேண்டும். இல்லையென்றால் இந்த உத்தி பயன்படாது.

13. பெருக்கல் : ஐந்தில் முடியும் மூன்று இலக்க எண்ணை அதே மூன்று இலக்க எண்ணால் பெருக்குதல் (Square)

அதாவது 105, 215, 325, 435, 545, 655, 765, 875, 985 போன்ற எண்களை அதே எண்களால் பெருக்கினால் என்ன விடை வரும். இதற்கு வழக்கமான முறையில் மூளையைக் கசக்காமல், மின்னல் கணிதம் முறையில் பட்டென விடை சொல்வது எப்படி என்று பார்க்கப் போகிறோம்.

ஆரம்பிக்கும் முன்னால் ஒரு சின்ன ஃபிளாஷ்பேக். ஏற்கனவே நாம் இரு இலக்க எண்களை ஸ்கொயர் செய்வது எப்படி என்று பார்த்திருக்கிறோம். எனவே அதை ஒரு முறை ஞாபகப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள். இனி உதாரணத்திற்கு வருவோம்.

உதாரணம் : 1

125
125 X
---------

125 என்பதை இரண்டு தனித் தனி எண்களாக பிரித்துக்கொள்வோம். அதாவது 12 மற்றும் 5 என பிரித்துக் கொள்வோம்.

• முதலில் 5 X 5 = 25 இதுவே விடையின் வலது பாகம்.
• அடுத்ததாக 12 + 1 = 13
• இனி 12 X 13 = 156. இதுவே விடையின் இடது பாகம்.
• ஆக 15625 என்பதுதான் விடை


உதாரணம் : 2

115
115 X
---------

115 என்பதை இரண்டு தனித் தனி எண்களாக பிரித்துக்கொள்வோம். அதாவது 11 மற்றும் 5 என பிரத்துக் கொள்வோம்.

• முதலில் 5 X 5 = 25 இதுவே விடையின் வலது பாகம்.
• அடுத்ததாக 11 + 1 = 12
• இனி 11 X 12 = 132. இதுவே விடையின் இடது பாகம்.
• ஆக 13225 என்பதுதான் விடை


குறிப்பு
நாம் 5ல் முடியும் எண்களை தேர்ந்தெடுத்து பெருக்குவதால் விடையின் கடைசி இரு இலக்கங்கள் எப்போதுமே 25 தான் வரும்.

12. பெருக்கல் - இரு இலக்க எண்கள்

எந்த இரு இலக்க எண்ணையும் இன்னொரு இரு இலக்க எண்ணால் 6 வினாடிகளுக்குள் பெருக்க முடியும். தொடர்ந்து முயற்சி செய்தால் மூன்று வினாடிகளில் போட்டுவிட முடியும். என்னுடைய வகுப்புகளில் படிக்கும் சில மூன்றாம்கிளாஸ் வாண்டுகள் 6 வினாடிகளில் அசத்துகிறார்கள். எப்படி என்று பரபரக்கிறதா? அடுத்த வரியிலிருந்து ஆரம்பிக்கிறது நம்ம மின்னல் பெருக்கல்.

உதாரணம் 1 - 32 x 21 = ?
புரிந்து கொள்ள வசதியாக இருக்கட்டும் என்று சொல்கிறேன். வருகின்ற விடைகள் இடது பகுதி, நடுப் பகுதி மற்றும் வலது பகுதி என மூன்று தனித் தனியான பகுதிகளாக இருக்கும்.

முதலில் விடையின் இடது பகுதி
இரு எண்களின் இடதுபக்க எண்களையும் பெருக்குங்கள். அதாவது,
32லிருந்து 3ஐயும் 21லிருந்து 2ஐயும் பெருக்குங்கள்
3 x 2 = 6
அடுத்தது விடையின் வலது பகுதி
இரு எண்களின் வலதுபக்க எண்களையும் பெருக்குங்கள். அதாவது,
32லிருந்து 2ஐயும் 21லிருந்து 1ஐயும் பெருக்குங்கள்
2 x 1 = 2
கடைசியாக விடையின் நடுப்பகுதி
முதலில் 32லிருந்து 2ஐயும் 21லிருந்து 2ஐயும் பெருக்குங்கள்
2 x 2 = 4
பின்னர் 32லிருந்து 3ஐயும் 21லிருந்து 1ஐயும் பெருக்குங்கள்
3 x 1 = 3


பெருக்கி வந்த விடைகளை கூட்டுங்கள்
4 + 3 = 7
இதுவே விடையின் நடுப் பகுதி

விடை - 672

ஒருவேளை விடையின் நடுப்பகுதி ஒற்றைப் படையாக இல்லாமல் இரட்டைப் படை எண்ணாக வந்தால் என்ன செய்வது? உதாரணமாக 11 என வந்தால் என்ன செய்வது?

இந்தக் கேள்வியை என்னிடம் கேட்டதும் ஒரு மூன்றாம் வகுப்பு வாண்டுதான். நான் அந்த வாண்டுவின் கேள்விக்குப் பதிலாக இன்னொரு பெருக்கல் கணக்கை செய்து காண்பித்தேன். அதையே உங்களுக்கும் செய்து காட்டுகிறேன்.

உதாரணம் 2 - 32 x 41 = ?

இந்தக் கணக்கும் 6 வினாடியைத் தாண்டாது. எனவே மின்னல் கணித மாணவர்கள் அனைவரும் கையில் ஸ்டாப் கிளாக்கை வைத்துக் கொண்டு பயிற்சி செய்யுங்கள். 6 வினாடியைத் தாண்டினால் விடாமல் முயற்சி செய்து 6 வினாடிக்குள் செய்து முடிக்க பழகுங்கள்.

புரிந்து கொள்ள வசதியாக இருக்கட்டும் என்று மீண்டும் சொல்கிறேன். வருகின்ற விடைகள் இடது பகுதி, நடுப் பகுதி மற்றும் வலது பகுதி என மூன்று தனித் தனியான பகுதிகளாக இருக்கும்.
முதலில் விடையின் இடது பகுதி
இரு எண்களின் இடதுபக்க எண்களையும் பெருக்குங்கள். அதாவது,
32லிருந்து 3ஐயும் 41லிருந்து 4ஐயும் பெருக்குங்கள்
3 x 4 = 12
அடுத்தது விடையின் வலது பகுதி
இரு எண்களின் வலதுபக்க எண்களையும் பெருக்குங்கள். அதாவது,
32லிருந்து 2ஐயும் 41லிருந்து 1ஐயும் பெருக்குங்கள்
2 x 1 = 2
கடைசியாக விடையின் நடுப்பகுதி
முதலில் 32லிருந்து 2ஐயும் 41லிருந்து 4ஐயும் பெருக்குங்கள்
2 x 4 = 8
பின்னர் 32லிருந்து 3ஐயும் 41லிருந்து 1ஐயும் பெருக்குங்கள்
3 x 1 = 3
பெருக்கி வந்த விடைகளை கூட்டுங்கள்
8 + 3 = 11
வந்திருக்கும் விடை(11) ஒற்றைப் படை அல்ல. இரட்டைப் படை.
எனவே அந்த எண்ணை வலது இலக்கம்(1) இடது இலக்கம் (1) எனத் தனித் தனியாகப் பிரியுங்கள்.

வலது இலக்கம்(1)தான் விடையின் நடுப்பகுதி.

இடது இலக்கத்தை(1) ஏற்னவே நம்மிடமிருக்கும் இடது பகுதி(12) விடையுடன் கூட்டிவிடுங்கள்.
12 + 1 = 13 - இதுவே விடையின் புதிய இடது பகுதி
எனவே நமது விடை 1312.

11 : பெரிய எண்களை 9ஆல் வகுத்தல் - II

221013 இந்த எண்ணை நமது மின்னல் கணிதப்படி 9ஆல் வகுத்தால் கடைசி இலக்கம் வரும்போது 9லிருந்து 9ஐ கழிப்பது போல வருகிறது. அதனால் ஈவு 24557, மீதி 0.

சரி இப்போது அதே எண்ணில் ஓரிரு மாற்றங்கள் செய்து 221021 என மாற்றுவோம். இந்த எண்ணை மின்னல் கணிதப்படி 9ஆல் வகுத்தால் என்ன ஆகும்?
221012/9 = ?
கடைசி இலக்கம் வரும்போது 6+2=8 என வருகிறது. விடை ஒன்பதை விட குறைவாக இருப்பதால் 8ஐ அப்படியே எழுதிவிட்டோம். எனவே ஈவு 24556, மீதி8.

இனி இன்னொரு கணக்கை பார்ப்போம்.

இந்தக் கணக்கில் கடைசி இலக்கம் வரும்போது, 7+ 6 = 13 என வருகிறது. 13 என்பது 9ஐ விட பெரிய எண் என்பதால் அதிலிருந்து வழக்கம் போல 9ஐ கழிக்க வேண்டும்.
எண் 13லிருந்து 9ஐக் கழித்தால் விடை நான்கு. எனவே மீதி 4. அடுத்தது ஈவுக்கு வருவோம்.
எண் 13லிருந்து 9ஐ ஒரு முறை கழிக்க முடியும் என்பதால் அந்த ஒன்றை முந்தைய இலக்கம் 7டன் கூட்டவேண்டும். அதாவது ஈவு 7+1=8, மீதி 4
விசித்திரமான எண்கள்
சில தேதிகள் மிகவும் சுவாரசியமானவை. உதாரணத்திற்கு பின்வரும் தேதிகள்.
7 August 2008 = 7 + 8 + 2 + 0 + 0 + 8 = 25 = 2 + 5 = 7
8 August 2008 = 8 + 8 + 2 + 0 + 0 + 8 = 26 = 2 + 6 = 8
9 August 2008 = 9 + 8 + 2 + 0 + 0 + 8 = 27 = 2 + 7 = 9

இந்தத் தேதிகளில் உள்ள நாள் மாதம் மற்றும் வருடம் ஆகியவற்றிலுள்ள எண்களை ஒற்றைப் படை வரும் வரை தொடர்ந்து கூட்டினால் தேதியே விடையாக வரும்.