Wednesday, July 1, 2009

15. பெருக்கல் : இரு இலக்கங்கள் - வலது இலக்கங்களின் கூட்டுத் தொகை பத்துக்கு மேலிருந்தால்

கீழ்வரும் எண்களை கவனியுங்கள்

உதாரணம் : 1

47 X 45

இந்த எண்களின் இடது இலக்கங்கள் சமம்
ஆனால் வலது இலக்கம் சமம் இல்லை.
வலது (7,5) இலக்கங்களைக் கூட்டினால் பத்துக்கு மேல்.

இந்த எண்களுக்கு ஏதாவது மின்னல் டெக்னிக் இருக்கிறதா என்றால் இருக்கிறது.

நீங்கள் 47 X 45
என்பதை (45 + 2) X 45
என்றும் எழுதலாம்.

ஏன் அப்படி எழுதுகிறோம். அப்படி எழுதுவதன் மூலம் நமக்கு இரண்டு 45கள் கிடைத்துவிடுகின்றன. இவற்றை நமது மின்னல் பெருக்கல் உத்தியின் மூலம், நொடிகளில் 2025 என்று விடையைச் சொல்லிவிடலாம். சரி அந்த 2 எங்கே போனது? அந்த 2ஐ என்ன செய்வது? ரொம்ப சிம்பிள் 45 X 2 என்று பெருக்கினால் 90 வரும். அதை 2025 உடன் கூட்டினால் 2025 + 90 = 2115 என விடை வந்துவிடும்.

அதாவது
47 X 45 = (45102) X 45
(45 X 45) + (2 X 45) = 2025 + 90 = 2115

இனி இதை அப்படியே 73 X 79 என்ற பெருக்கலுக்கு பயன்படுத்திப் பார்க்கலாமா?

உதாரணம் : 2

73 X 79 = ?


முதல் வழி
(71 + 2) X 79 = (71 X 79) + (79 X 2) = 5609 + 158 = 5767

இன்னொரு வழி
73 X (77102) = (73 X 77) + (73 X 2) = 5621 + 146 X 5767

இனி கொஞ்சம் விலாவாரியாக ஆய்வோம். 73 X 79 என்பதில் ஏன் 73ஐ 71 10 2 என எழுதினோம்? ஏனென்றால் 73ஐ வசதியாக 71 என மாற்றும்போது 73 X 79 என்பது 71 X 79 ஆக மாறிவிடுகிறது. அதாவது கடைசி இரு இலக்கங்களையும் (1,9) கூட்டினால் 10 என வருகிறது. அப்படி வந்தால் அதற்கான மின்னல் கணித உத்தி நம்மிடம் உள்ளது. அதை வைத்து மிகச் சுலபமாக பெருக்கிவிடலாம்.

புரிவதற்கு வசதியாக மேலும் சில மின்னல் பெருக்கல்களை கொடுத்துள்ளேன். புரிந்து கொண்டு பயன்படுத்துங்கள்.

உதாரணம் : 3

57 X 56 = ?

முதல் வழி
(54 + 3) X 56 = (54 X 56) + (54 X 3) = 3024 + 168 = 3192

இன்னொரு வழி
57 X (53103) = (57 X 53) + (57 X 3) = 3021 + 171 = 3192


உதாரணம் : 4

68 X 66 = ?

முதல் வழி
(64 + 4) X 66 = (64 X 66) + (66 X 4) = 4224 + 264 = 4488

இன்னொரு வழி
68 X (62 + 4) = (68 X 62) + (68 - 4) = 4216 + 272 = 4488

14. பெருக்கல் : வலது இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 10 ஆக இருக்கும் மூன்று இலக்க எண்ணை அதே மூன்று இலக்க எண்ணால் பெருக்குதல் (Square)

கீழ் வரும் எண்களை கவனியுங்கள்
118 X 112
246 X 244
322 X 328
434 X 436
567 X 563
651 X 659
782 X 788
891 X 899
938 X 932

இந்த எண்களில் இரு ஒற்றுமைகள் உள்ளன. அவை என்னவென்றால்,
  • வலது கடைசி இலக்கங்களை கூட்டினால் 10 வரும். உதாரணமாக 567 X 563 இந்த எண்களின் கடைசி இலக்கங்கள் 7 மற்றும் 3. இவை இரண்டையும் கூட்டினால் 10. அதே போல 938 X 932 இந்த எண்களின் வலது கடைசி இலக்கங்கள் 8 மற்றும் 2. இவை இரண்டையும் கூட்டினால் 10.
  • இரு எண்களிலும் இடது இரு இலக்கங்கள் ஒரே எண்ணாகத்தான் இருக்கும். உதாரணமாக 567 X 563. இந்த இரு எண்களிலும் இடது இரு இலக்கங்கள் 56தான். அதே போல 938 X 932. இந்த இரு எண்களிலும் இடது இலக்கங்கள் 93தான்.
  • மேலிருக்கும் இரண்டு காரணிகளும் இருந்தால் இந்த மின்னல் கணித உத்தி அட்டகாசமாக வேலை செய்யும்.

ஆரம்பிக்கும் முன்னால் மீண்டும் ஒரு சின்ன ஃபிளாஷ்பேக். ஏற்கனவே நாம் இதே காரணிகளைக் கொண்ட இரு இலக்க எண்களை ஸ்கொயர் செய்வது எப்படி என்று பார்த்திருக்கிறோம். எனவே அதை ஒரு முறை ஞாபகப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள். இனி உதாரணத்திற்கு வருவோம்.

உதாரணம் : 1

198
192 X
---------


இந்த இரு எண்களையும் 19, 8, 2 என மூன்று தனித் தனி எண்களாக பிரித்துக்கொள்வோம்.

• முதலில் 8 X 2 = 16 இதுவே விடையின் வலது பாகம்.
• அடுத்ததாக 19 + 1 = 20
• இனி 19 X 20 = 380. இதுவே விடையின் இடது பாகம்.
• ஆக 38016 என்பதுதான் விடை


உதாரணம் : 2

567
563 X
---------


இந்த இரு எண்களையும் 56, 7, 3 என மூன்று தனித் தனி எண்களாக பிரித்துக்கொள்வோம்.

• முதலில் 7 X 3 = 21 இதுவே விடையின் வலது பாகம்.
• அடுத்ததாக 56 + 1 = 57
• இனி 56 X 57 = 3192. இதுவே விடையின் இடது பாகம்.
• ஆக 319221 என்பதுதான் விடை


குறிப்பு :

இரு எண்களின் வலது இலக்கங்களை கூட்டினால் 10 கட்டாயம் வரவேண்டும். இல்லையென்றால் இந்த உத்தி பயன்படாது.

13. பெருக்கல் : ஐந்தில் முடியும் மூன்று இலக்க எண்ணை அதே மூன்று இலக்க எண்ணால் பெருக்குதல் (Square)

அதாவது 105, 215, 325, 435, 545, 655, 765, 875, 985 போன்ற எண்களை அதே எண்களால் பெருக்கினால் என்ன விடை வரும். இதற்கு வழக்கமான முறையில் மூளையைக் கசக்காமல், மின்னல் கணிதம் முறையில் பட்டென விடை சொல்வது எப்படி என்று பார்க்கப் போகிறோம்.

ஆரம்பிக்கும் முன்னால் ஒரு சின்ன ஃபிளாஷ்பேக். ஏற்கனவே நாம் இரு இலக்க எண்களை ஸ்கொயர் செய்வது எப்படி என்று பார்த்திருக்கிறோம். எனவே அதை ஒரு முறை ஞாபகப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள். இனி உதாரணத்திற்கு வருவோம்.

உதாரணம் : 1

125
125 X
---------

125 என்பதை இரண்டு தனித் தனி எண்களாக பிரித்துக்கொள்வோம். அதாவது 12 மற்றும் 5 என பிரித்துக் கொள்வோம்.

• முதலில் 5 X 5 = 25 இதுவே விடையின் வலது பாகம்.
• அடுத்ததாக 12 + 1 = 13
• இனி 12 X 13 = 156. இதுவே விடையின் இடது பாகம்.
• ஆக 15625 என்பதுதான் விடை


உதாரணம் : 2

115
115 X
---------


115 என்பதை இரண்டு தனித் தனி எண்களாக பிரித்துக்கொள்வோம். அதாவது 11 மற்றும் 5 என பிரத்துக் கொள்வோம்.

• முதலில் 5 X 5 = 25 இதுவே விடையின் வலது பாகம்.
• அடுத்ததாக 11 + 1 = 12
• இனி 11 X 12 = 132. இதுவே விடையின் இடது பாகம்.
• ஆக 13225 என்பதுதான் விடை


குறிப்பு
நாம் 5ல் முடியும் எண்களை தேர்ந்தெடுத்து பெருக்குவதால் விடையின் கடைசி இரு இலக்கங்கள் எப்போதுமே 25 தான் வரும்.